Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

（1）若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明。
（2）若AB+BD=AC，求∠B︰∠C 的比值。

Answer 1

（1）等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC
证明：∵AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠BAC
∵∠B︰∠C=2︰1
∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°
∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°
∴∠B=∠ADB=72°, ∠DAC=∠C=36°
∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）方法1：在AC上截取AE=AB,连接DE
又∠BAD=∠DAE，AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴∠AED=∠B ， BD=DE
∵AB+BD=AC ∴BD=EC ∴DE=EC 
∴∠EDC=∠C
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
即∠B︰∠C=2︰1
方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE 证明△ADE≌△ADC 再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C 利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC-AB或AB+BD转化成一条线段