Question

11．如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，⊙O的切线BE与DO的延长线相交于点E，DO的延长线交⊙O于点F，连接BD，BF．
（1）求证：∠CDE=∠E；
（2）若OD=4，EF=1，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）由在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，根据垂径定理即可得AB⊥CD，又由BE是⊙O的切线，易证得CD∥BE，即可证得结论；
（2）易证得△ODG∽△OEB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OG的长，由勾股定理即可求得DG的长，作FH⊥AB于点H．则CD∥FH，在直角△BHF中利用勾股定理即可求得BF的长．

解答 （1）证明：∵在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，
∴AB⊥CD，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∴CD∥BE，
∴∠CDE=∠E；
（2）解：∵∠CDE=∠E，∠DOG=∠BOE，
∴△ODG∽△OEB，
∴$\frac{OG}{OB}$=$\frac{OD}{OE}$，
∵OD=4，EF=1，
∴OB=OF=OD=4，
∴OE=OF+EF=5，
∴$\frac{OG}{4}$=$\frac{4}{5}$，
∴OG=$\frac{16}{5}$，
∴DG=$\sqrt{O{D}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
作FH⊥AB于点H．则CD∥FH，
又∵OF=OD，
∴FH=DG=$\frac{12}{5}$，OH=OG=$\frac{16}{5}$，
∴BH=OB-OH=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴Rt△BHF中，BF=$\sqrt{B{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．注意证得△ODG∽△OEB是解此题的关键．