Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC。
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形。

Answer 1

证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD， ∴EC=BE=BC=AD， 又∵AD∥DC， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AE∥DC， ∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO， ∴△AOE∽△COF。
（2）连接DE， ∵AD平行且等于BE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∠ABE=90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴GE=GA=GB=GD=BD=AE， ∵E、F分别是BC、CD的中点， ∴EF、GE是△CBD的两条中线， ∴EF=BD=GD，GE=CD=DF， 又GE=GD， ∴EF=GD=GE=DF, ∴四边形EFDG是菱形。