Question

(2006，重庆)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．

(1)求证：DC=BC；

(2)E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，当BE∶CE=1∶2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：过A作DC的垂线AM交DC于M． 则AM=BC=2， 又tan∠ADC=2， 所以． 因为MC=AB=1，所以DC=DM＋MC=2，即DC=BC． (2)△ECF是等腰直角三角形． 证明：因为DE=BF，∠EDC=∠FBC，DC=BC， 所以△DEC≌△BFC， 所以CE=CF，∠ECB=∠FCB， ∠ECF=∠BCF＋∠BCE=∠ECD＋∠BCE=∠BCD=90°， 即△ECF为等腰直角三角形． (3)解：设BE=k，则CE=CF=2k，所以． 因为∠BEC=135°， 又∠CEF=45°，所以∠BEF=90°， 所以， 所以．