Question

如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，求E点的坐标；
（3）试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）当y=0时，
，
解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
当x=0时，
y=-，
∴C（0，-），
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-）；

（2）由（1）可知AO=3，BO=1，CO=，
作EF⊥AB于F，
∠AFE=∠COB=90°，
∵△ABE是由△ABC旋转180°得到的．
∴AE=BC，∠BAE=∠ABD，
∴△AFE≌△BOC，
∴EF=OC，AF=OB，
∴EF=，AF=1，
∴OF=2，
∴E（-2，）；

（3）四边形AEBC是矩形．
证明：在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理得：
AC=，BC=，
∴AC=2，BC=2，
∴AC²=12，BC²=4，
∴AC²+BC²=16，
∵AB²=16，
∴AC²+BC²=AB²
∴∠ACB=90°，
∵四边形AEBC是由三角形ABC绕AB的中点M旋转180°得到的，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形AEBC是矩形．
分析：（1）要求A、B、C的坐标，这点分别在x轴和y轴上，当x=0或y=0时就可以求出其坐标．
（2）作EF⊥AB于F，可以证明△AFE≌△BOC，得到线段相等，利用线段EF=OC，从而得到点E的坐标．
（3）根据旋转很容易得出四边形AEBC是平行四边形，利用勾股定理的逆定理证明三角形ABC是直角三角形，从而判断四边形AEBC是矩形．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了图形的旋转，全等三角形，勾股定理逆定理的运用以及根据解析式求函数与x轴及y轴的交点坐标．