Question

如图，已知直线AB∥CD，∠A=∠C=100°，E、F在CD上，且满足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若平行移动AD，那么∠BFC：∠BDC的比值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC=∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠C=80°，
∵∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE=∠ABF+∠CBF=∠ABC=40°；

（2）不变．
理由∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠ABF=2∠ABD，∠ABD=∠BDC，
∴∠BFC=2∠BDC，
∴∠BFC：∠BDC=2：1；

（3）存在．
设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABE=x°+40°；
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=80°，
∴∠ADB=80°-x°．
若∠BEC=∠ADB，
则x°+40°=80°-x°，
得x°=20°．
∴存在∠BEC=∠ADB=60°．
分析：（1）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE=∠ABC，即可求得∠DBE的度数．
（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFC=∠ABF=2∠ABD，∠ABD=∠BDC，继而可求得∠BFC：∠BDC的比值；
（3）首先设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC=∠ADB，即可得方程：x°+40°=80°-x°，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了平行线的性质与平行四边形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．