Question

如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．
（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；
（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；
（3）线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．

Answer 1

解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：
∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，
∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，
∴在△APM与△CQM中，，
∴△APM与△CQM（SAS）；

（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米²，理由如下：
由（1）知，△APM与△CQM，
∴S_△APM=S_△CQM，
∴S_{四边形PMQC}=S_△AMC=S_△ABC=AC•BC=×8×8=32（厘米²），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米²；

（3）AP²+BQ²=PQ²．证明如下：
∵由（1）知，△APM与△CQM，
∴AP=CQ，
又AC=BC，
∴PC=BQ，
∴AP²+BQ²=CQ²+CP²=PQ²．即AP²+BQ²=PQ²．
分析：（1）通过SAS证得△APM与△CQM；
（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S_{四边形PMQC}=S_△AMC=S_△ABC；
（3）AP²+BQ²=PQ²．利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP²+BQ²=PQ²．
点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．