Question

如图，点P在双曲线（k．＞0）第一象限内的分支上运动，以P为圆心的圆保持与y轴相切于点A，与双曲线交于点B，点B在点P上方．
（1）当点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，），试求双曲线的解析式；
（2）切点A是否有可能与坐标原点O重合？
（3）在（1）的条件下，是否存在点P，使得△ABP为正三角形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，），
∴点P的坐标为：（2，），
∴=，
∴k=2，
∴双曲线y=的解析式为：y=；

（2）切点A不能与坐标原点O重合．
理由：若切点A与坐标原点O重合，
则点P的纵坐标为0，
即点P在x轴上，
∵反比例函数与x轴不相交，
∴点P不能在x轴上，
∴切点A不能与坐标原点O重合；

（3）存在．
理由：设点P的坐标为：（a，），
则AP=a，
过点B作BC⊥AP于点C，
∵△ABP为正三角形，
∴AC=AP=a，∠BAP=60°，
在Rt△BAC中，BC=AC•cos∠BAP=a×=a，
∴点B的坐标为：（a，a+），
∵点B在双曲线y=上，
∴a×（a+）=2，
解得：a²=4，
∴a=±2．
∵点P在第一象限，
∴a=2，
∴点P的坐标为：（2，）．
分析：（1）点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，），可得点P的坐标为：（2，），然后由待定系数法即可求得双曲线的解析式；
（2）利用反证法，若切点A与坐标原点O重合，可得即点P在x轴上，又由反比例函数与x轴不相交，可得切点A不能与坐标原点O重合；
（3）设点P的坐标为：（a，），由△ABP为正三角形，可求得点B的坐标为：（a，a+），又由点B在双曲线y=上，即可得方程a×（a+）=2，解此方程即可求得a的值，继而求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、切线的性质、正三角形的性质以及点与反比例函数的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．