Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点C，⊙O₁与⊙O₂的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5．
（1）求线段AB的长；
（2）证明：PC²=PA•PB．

Answer 1

（1）解：PAB切⊙O₁与⊙O₂与A、B，
∴AO₁⊥PA，BO₂⊥PB
∴AO₁∥BO₂
∴∠AO₁O₂+∠BO₂O₁=180°
又在△AO₁C和△BO₂C中，内角和为360°
∴∠O₁AC+∠O₁CA+∠O₂BC+∠O₂CB=180°
∵O₁A=O₁C，O₂B=O₂C
∴∠O₁AC=∠O₁CA，∠O₂BC=∠O₂CB
∴∠ACO₁+∠BCO₂=90°
∴∠ACB=90°
∴在RT△ABC中，AB=；

（2）证明：由（1），知∠ACO₁+∠BCO₂=90°
而∠O₂BC=∠O₂CB，且∠O₂BC+∠CBA=90°
∴∠PCA=∠PBC
又∠P为公共角
∴△PAC∽△PCB
∴
即PC²=PA•PB．
分析：（1）由题意可知AO₁和BO₂平行，根据同旁内角互补，可知∠AO₁O₂+∠BO₂O₁=180°，根据两个三角形内角和为360°，且O₁A=O₁C，O₂B=O₂C，可知∠ACO₁+∠BCO₂=90°，然后根据勾股定理求出AB；
（2）证明PC²=PA•PB，即证△PAC∽△PCB，而在这两个三角形中已经有一个公共角∠P，只需再找一组角即可，根据（1）可得等角的余角相等，可知∠PCA=∠PBC，即可知相似，然后得出等积式．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定、以及比例式和等积式之间的转换，难易程度适中．