Question

已知：实数x，y，z满足：x+y+z=0，xy+yz+zx=-3，求z的最大值．

Answer 1

【答案】分析：首先将原式变形：x+y=-z，xy=-3+z²，又由韦达定理知：xy是一元二次方程w²+zw+（-3+z²）=0的两实根，利用判别式求解即可得到答案．
解答：解：∵x+y+z=0，
∴x+y=-z，①
∵xy+yz+zx=-3，
∴xy=-3-（yz+zx）=-3-z（x+y）=-3-z（-z），
即xy=-3+z²，②
由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程w²+zw+（-3+z²）=0的两实根，
则判别式△=z²-4（-3+z²）≥0，
化简得：z²≤4，
∴-2≤z≤2，
∴z的最大值是2．
点评：此题考查了最值问题．解此题的关键是得到关于z的一元二次方程，利用判别式求解．此题难度较大，解题时要注意细心．