Question

关于x的方程有实根．
（1）若方程只有一个实根，求出这个根；
（2）若方程有两个不相等的实根x₁，x₂，且，求k的值．

Answer 1

解：（1）当1-2k=0，即k=，原方程变形一元一次方程-2（+1）x-×=0，方程只有一个实根，解此方程得x=-；
（2）当1-2k≠0，即k≠，原方程为一元二次方程，
∵方程有两个不相等的实根，
∴△＞0，即4（k+1）²-4（1-2k）×（-k）＞0，
∴k＞-，
∵x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
而，即=-6，
∴=-6，解得k=2，
∴k的值为2．
分析：（1）方程只有一个实根，则1-2k=0，即k=，于是原方程变形一元一次方程-2（+1）x-×=0，然后解此方程即可；
（2）由于方程有两个不相等的实根，△＞0，得到k＞-，然后根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-，x₁•x₂=，再有变形为=-6，即可得到关于k的方程，解方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．