Question

如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出一下五个结论：①PF=PE；②EF=AP；③2EP²=EF²；④∠AEP+∠AFP=180°；⑤S_{四边形AEPF}=S_△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5个

Answer 1

C
分析：（1）通过证明△AEP≌△CFP就可以得出PE=PF，
（2）由条件知AP=BC，当EF是△ABC的中位线时才有EF=AP，其他情况EF≠AP．
（3）由∠EPA+∠FPA=90°，由勾股定理就可以得出结论；
（4）由△AEP≌△CFP就可以得出∠AEP=∠CFP，由邻补角的性质就可得出结论；
（5）由S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四边形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出结论，
解答：∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=AP=BC．∠APC=90°，∠BAP=∠CAP=45°．
∴．∠BAP=∠C．
在△AEP和△CFP中
，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴PE=PF，∠AEP=∠CFP．S_△AEP=S_△CFP．故①正确
∵∠CFP++∠AFP=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°．故④正确；
∵EPF=90°，在Rt△EPF中，由勾股定理，得
EF²=PE²+PF²，
∴2EP²=EF²．故③正确
∵S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四边形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=S_△ABC．故⑤正确．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故②错误；
∴正确的共有4个．
故选C．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．