Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC=2∠B，AC=6，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P．
（Ⅰ）求证：△OAC是等边三角形；
（Ⅱ）求PA的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
又∵∠BAC=2∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形；

（2）解：∵过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，
∴∠OAP=90°，
∵△OAC是等边三角形，AC=6，
∴∠AOP=60°，OA=6，
∴tan60°=，
∴PA=AOsin60°=6．
分析：（1）利用圆周角定理的推论得出∠BCA=90°，进而利用∠BAC=2∠B，得出∠BAC=60°，再利用等边三角形的判定得出；
（2）根据（1）中所求的出∠AOP=60°，OA=6，进而利用锐角三角函数关系得出PA的长．
点评：此题主要考查了切线的性质定理以及等边三角形的判定与性质和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出∠BAC=60°是解题关键．