Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

Answer 1

解：（1）将B（0，1）代入y=ax²+bx+c中，得c=1．
又∵b=-4ac，顶点A（-，0），
∴-==2c=2．
∴A（2，0）．
将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0，
∴
解得a=，b=-1，
故抛物线的解析式为y=x²-x+1．

（2）假设符合题意的点C存在，其坐标为C（x，y），作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°．
∴△AOB∽△CDA，
∴OB•CD=OA•AD，
即1•y=2（x-2），
∴y=2x-4，
由，
解得x₁=10，x₂=2．
∴符合题意的点C存在，且坐标为（10，16），或（2，0），
∵P为圆心，
∴P为BC中点，
当点C坐标为（10，16）时，取OD中点P₁，连PP₁，则PP₁为梯形OBCD中位线，
∴PP₁=（OB+CD）=．
∵D（10，0），
∴P₁（5，0），
∴P₂（5，）．
当点C坐标为（2，0）时，取OA中点P₂，连PP₂，则PP₂为△OAB的中位线．
∴PP₂=OB=，
∵A（2，0），
∴P₂（1，0），
∴P（1，）．
故点P坐标为（5，），或（1，）．

（3）设B、P、C三点的坐标为B（x₁，y₁），P（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由（2）可知：
．
分析：（1）已知抛物线过B点，由b=-4ac可求顶点坐标，代入解出系数，从而求出抛物线表达式；
（2）假设存在，设出C点，作CD⊥x轴于D，连接AB、AC，可证三角形相似，根据相似比例，求出C点，再作辅助线，利用圆及梯形OBCD的性质求出P点坐标；
（3）由第二问结论，设出B，P，C点代入公式就可找到关系．
点评：此题还是考抛物线的性质和顶点坐标，第二问探究存在性问题，充分利用圆和梯形的性质，综合性性较强，第三问利用第二问的结论，要看清题意．