Question

如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于H，过H作GH⊥BD交BD于G；求证：
（1）AF=FH；　　　　　　
（2）BD=2FG．

Answer 1

证明：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF；

（2）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
分析：（1）延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
（2）连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG．
点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等是解题的关键．