Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A₁BC₁的位置，求：
（1）整个旋转过程中点H运动的路径长；
（2）整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积是多少？

Answer 1

解：（1）连结OH、OH₁，如图，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，
∴AC=BC=6，
∵H为AC的中点，
∴CH=AC=3，
在Rt△BCH中，BH==3，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A₁BC₁的位置，
∴∠HOH₁=120°，
∴弧HH₁的长度==2π，
即整个旋转过程中点H运动的路径长为2；

（2）BH交OO₁弧于P点，BH₁交OO₁弧于P₁点，如图，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，
∵点O为AB的中点，
∴BO=6，
∵△BOH≌△BOH₁，
∴∠BOH=∠BOH₁，S_△BOH=S_△BOH1，
∴S_扇形BOP=S_扇形BO1P1，
∴线段OH所扫过部分的面积=S_扇形BHH1-S_扇形BPP1=-=9π．
分析：（1）连结OH、OH₁，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=6，则CH=3，再利用勾股定理计算出BH=3，然后根据旋转的性质确定
∠HOH₁=120°，再根据弧长公式计算弧HH₁的长度；
（2）BH交OO₁弧于P点，BH₁交OO₁弧于P₁点，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=12，则BO=6，根据旋转的性质得到∠BOH=∠BOH₁，S_△BOH=S_△BOH1，则S_扇形BOP=S_扇形BO1P1，于是线段OH所扫过部分的面积=S_扇形BHH1-S_扇形BPP1，然后根据扇形面积进行计算．
点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．