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    5．如图1，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

    （1）求a，b的值；
    （2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
    （3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点P为线段OA上的一个动点（与点O、点A不重合），以点O为圆心、以OP为半径的圆弧与线段OC交于点M，以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点N，连接MN．在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．

    分析 （1）先求出A、B两点的坐标，再代入抛物线y=ax2+bx求出a，b的值即可；
    （2）作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，根据题意可得OD=1，BD=3，OA=4，故AD=BD，再由∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，根据MC⊥x轴可得出∠PNF=∠ANC=45°，由PF⊥MC可知∠FPN=∠PNF=45°，故NF=PF=t．再根据∠DFM=∠ECM=90°可知PF∥EC，所以∠MPF=∠MEC，根据ME∥OB得出∠MEC=∠BOD，故∠MPF=∠BOD，tan∠BOD=tan∠MPF，所以MF=3PF=3t，再由MN=MF+FN即可得出结论；
    （3）设OP=m，四边形OMNB的面积为S，先连接ON、AM，再证△OAN≌△ACM（SAS），可知CM=AN=AP，故AB=BC=4，CM=AN=AP=4-m，CN=OP=m，过M作MF⊥AC，垂足为F，则MF=MC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），再由S=S△OAC-S△CMN即可得出结论．

    解答 解：（1）∵y=-x+4与x轴交于点A，
    ∴A（4，0），
    ∵点B的横坐标为1，且直线y=-x+4经过点B，
    ∴B（1，3），
    ∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}16a+4b=0\\ a+b=3\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\end{array}\right.$，
    ∴a=-1，b=4；

    （2）如图2，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，
    ∵B（1，3），A（4，0），
    ∴OD=1，BD=3，OA=4，
    ∴AD=3，
    ∴AD=BD，
    ∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
    ∵MC⊥x轴，
    ∴∠ANC=∠BAD=45°，
    ∴∠PNF=∠ANC=45°，
    ∵PF⊥MC，
    ∴∠FPN=∠PNF=45°，
    ∴NF=PF=t，
    ∵∠DFM=∠ECM=90°，
    ∴PF∥EC，
    ∴∠MPF=∠MEC，
    ∵ME∥OB，
    ∴∠MEC=∠BOD，
    ∴∠MPF=∠BOD，
    ∴tan∠BOD=tan∠MPF，
    ∴$\frac{BD}{OD}$=$\frac{MF}{PF}$=3，
    ∴MF=3PF=3t，
    ∵MN=MF+FN，
    ∴d=3t+t=4t．

    （3）四边形OMNB的面积有最小值．
    设OP=m，四边形OMNB的面积为S，先连接ON、AM，
    在△OAN与△ACM中，
    ∵$\left\{\begin{array}{l}OA=CA\\∠AON=∠MAC\\ ON=AM\end{array}\right.$，
    ∴△OAN≌△ACM（SAS），
    ∴CM=AN=AP．
    ∵AB=BC=4，S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×42=4$\sqrt{3}$，
    ∴CM=AN=AP=4-m，CN=OP=m，
    过M作MF⊥AC，垂足为F，
    则MF=MC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），
    ∴S△CMN=$\frac{1}{2}$CN•MF=$\frac{1}{2}$m•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m2+$\sqrt{3}$m，
    ∴S=S△OAC-S△CMN
    =4$\sqrt{3}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m2+$\sqrt{3}$m）
    =$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-2）2+3$\sqrt{3}$．
    ∴在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最小值为3$\sqrt{3}$．

    点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、二次函数的性质、旋转的性质等知识，（2）中求函数关系式要灵活运用三角函数建立等式，（3）中面积最值要转化为二次函数最值解答．

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