Question

如图，⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H（AH＜HB），⊙O′分别切⊙O，AB，CD于点E，F，G．
（1）已知CH=，求cosA的值；
（2）当AF•FB=AF+FB时，求EF的长；
（3）设BC=m，⊙O′的半径为n，用含m的代数式表示n．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵CD⊥AB，
∴CH²=AH•HB=AH（AB-AH）．
∴=AH（6-AH），
AH²-6AH+8=0，
∴AH=2或AH=4（不合题意，应舍去）．
∴CA²=AH•AB=2×6=12，
∴CA=2．
∴cosA==．

（2）∵AF•FB=AF+FB，AF+FB=AB=6，AF＜FB，
∴AF=3-，FB=3+．
连接O’F，O’G，OE，
∵⊙O′分别切AB，CD于F，G，切⊙O于E．
∴O，O′，E三点共线．
∴∠O′FH=∠O′GH=90°．
又CD⊥AB，O′F=O′G，
∴四边形FHGO’正方形．
设⊙O′的半径为r，
在Rt△OO’F中，
OO′²-O′F²=FO²=（BF-OB）²，（3-r）²-r²=（3+-3）²，
∴r=1．
从而OO’=2．
∴∠FOO’=30°，∠FO’O=60°．
∵O′E=O′F，
∴∠E=∠FO′O=30°．
∴∠E=∠FOO′．
∴EF=FO=．

（3）由射影定理，得
BC²=BH•BA=6（BF-FH）=6（BF-n）．①
∵O′O²-O′F²=OF²，
∴（3-n）²-n²=（BF-3）²，9-6n=BF²-6BF+9，BF²=6（BF-n）②
由①②得BF²=BC²，
∴BF=BC．
∴BC²=6（BC-n），
∴m²=6（m-n），
即n=-m²+m．
分析：（1）根据题意，要求cosA的值，根据三角函数的定义知，即求AC：AB的值．
由相交弦定理，先求出AH的长，就可以求出AC，又AB已知，cosA的值可求；
（2）求EF的长，可以在△OEF中找线段相互间的关系，通过AF•FB=AF+FB，AF+FB=AB=6，AF＜FB，可以求出AF=3-，FB=3+．再求出OF=，根据题意可以求出∠E=∠FOO’=30°，得出EF=FO=．
（3）用含m的代数式表示n．可以通过射影定理，及Rt△OO’F的勾股定理将两者结合，找到函数关系．
点评：本题综合考查了直线与圆、圆与圆的位置关系中三角函数，线段与线段的关系，同时考查了求函数关系式．