Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-4，0），B（0，4）
抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，∴C（1，0）．

（2）如答图1所示，设D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴E（t，t+4），P（t，-t²-3t+4）．
PE=y_P-y_E=-t²-3t+4-t-4=-t²-4t=-（t+2）²+4，
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（-2，6）．

（3）存在．
如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4-m，∴y_Q=4-m．
又M为OA中点，∴MH=2-m．
△MON为等腰三角形：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴y_Q=4-m=3．
由-x_Q²-3x_Q+4=3，解得x_Q=，
∴点Q坐标为（，3）或（，3）；
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN²=NH²+MH²，即2²=（4-m）²+（2-m）²，
化简得m²-6m+8=0，解得：m₁=2，m₂=4（不合题意，舍去）
∴y_Q=2，由-x_Q²-3x_Q+4=2，解得x_Q=，
∴点Q坐标为（，2）或（，2）；
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON²=NH²+OH²，即2²=（4-m）²+m²，
化简得m²-4m+6=0，∵△=-8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．
分析：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标；
（2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值；
（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解．
点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、一元二次方程的解法及判别式、等腰三角形以及勾股定理等方面知识，涉及考点较多，难度较大．第（3）问中，注意等腰三角形有三种情形，需要分类讨论，避免因漏解而导致失分．