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    题目：如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC．由已知易证△ABE≌△ADC，得BE=DC．

    扩变：
    1．如图2，若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠D=∠E=90°，那么 BE=DC吗？
    2．如图3，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC还成立吗？（2）BE⊥DC．
    3．如图4，若点A在线段BC上，△ABD，△AEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？
    4．在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5．
    （1）AF=AG吗？
    （2）△AFG是等边三角形吗？为什么？
    分析：1、由△ABD，△AEC都是等腰直角三角形得到AB=
    		2
    AD，AC=
    		2
    AE，∠DAB=∠EAC=45°，由于∠DAC=∠BAE，则可判断△ABE和△ADC不全等，于是BE与DC不相等．
    2、（1）根据正方形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，则∠DAC=∠BAE，根据“SAS”可判断△ABE≌△ADC，则BE=DC；
    （2）由△ABE≌△ADC，则∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE，于是∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，即BE⊥DC；
    3、根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAC=∠BAE，根据“SAS”可判断△ABE≌△ADC，则BE=DC；
    4、（1）由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根据“AAS”可判断△ABF≌△ADG（ASA），则AF=AG；
    （2）由于AF=AG，而∠DAE=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△AFG是等边三角形．
    解答：解：1．BE≠DC．理由如下：
    ∵△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，
    ∴AB=
    		2
    AD，AC=
    		2
    AE，∠DAB=∠EAC=45°，
    ∴∠DAC=∠BAE，
    ∴△ABE和△ADC不全等，
    ∴BE与DC不相等．
    2．（1）BE=DC成立．理由如下：
    ∵四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，
    ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
    ∴∠DAC=∠BAE，
    在△ABE和△ADC中
    AB=AD
    ∠BAE=DAC
    AE=AC
    ，
    ∴△ABE≌△ADC（SAS），
    ∴BE=DC；
    （2）BE⊥DC．理由如下：AC与BE相交于N点，
    ∵△ABE≌△ADC，
    ∴∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE．
    ∴∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，
    ∴BE⊥DC；
    3．BE=DC．理由如下：
    ∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
    ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
    ∴∠DAC=∠BAE，
    在△ABE和△ADC中
    AB=AD
    ∠BAE=DAC
    AE=AC
    ，
    ∴△ABE≌△ADC（SAS），
    ∴BE=DC；

    4．（1）AF=AG．理由如下：
    ∵△ABE≌△ADC，
    ∴∠ABE=∠ADC．
    在△ABF和△ADG中
    AB=AD
    ∠BAF=∠DAG
    ∠ABF=∠ADG
    ，
    ∴△ABF≌△ADG（ASA），
    ∴AF=AG．
    （2）△AFG是等边三角形．理由如下：
    ∵AF=AG，
    而∠DAE=60°，
    ∴△AFG是等边三角形．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    此题有A、B、C三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分，请你任选一类证明，多证明的题目不记分．
    （A类）已知：如图1，AB=AC，AD=AE，求证：∠B=∠C；
    （B类）已知：如图2，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC；
    （C类）如图3，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？
    经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：
    DF
    FC
    =
    DE
    EP
    ，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．
    （1）请按照小明的思路写出求解过程．
    （2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2009•新昌县模拟）上课时老师出示了下面的题目：
    如图1，正△ABC中，P为BC上一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G．
    求证：PE+PF=BG．
    喜欢思考的小明，给出了如下证法：
    证明：连接AP，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP
    又PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC
    ∴
    1
    2
    AC•BG=
    1
    2
    AB•PE+
    1
    2
    AC•PF
    ∵AB=AC
    ∴BG=PE+PF
    老师非常赞赏，面积法证明本题真简洁!老师又引导学生继续探索．
    （1）当点P在CB延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，探究三条线段之间PE，PF，BG之间的数量关系．写出猜想，不要求证明．
    （2）①将“P为BC上一点”改成”P为正△ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，M，G．有类似结论吗？请写出结论并证明．
    ②若点P在如图所示的位置时，①的结论是否成立？试探究四条线段PE，PF，PM，BG的数量关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．
    题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若
    AF
    EF
    =3    ，求
    CD
    CG
    的值．

    （1）尝试探究
    在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求
    AB
    EH
    的值是
    3
    3
    ，
    CG
    EH
    的值是
    2
    2
    ，从而确定
    CD
    CG
    的值是
    3
    2
    3
    2
    ．
    （2）类比延伸
    如图2，在原题的条件下，若
    AF
    EF
    =m    （m＞0），则
    CD
    CG
    的值是
    m
    2
    m
    2
    ．（用含m的代数式表示），写出解答过程．
    （3）拓展迁移
    如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若
    AB
    CD
    =a    ，
    BC
    BE
    =b    （a＞0，b＞0），则
    AF
    EF
    的值是
    ab
    ab
    ．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•青岛）已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．
    求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图）
    结论：BE=DE．

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