Question

如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x²+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N，问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）对于一次函数y=-4x-4， 令x=0，得y=-4， 故点C的坐标为（0，-4）， 令y=0，得x=-1， 故点A的坐标为（-1，0）， 把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c得 ∴ 解得 ∴y=x2-x-4；
（2）∵ ∴顶点为D（1，-）， ∵A、B两点关于对称轴x=1对称， ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线DC交x轴于点E， 如图1， 由D（1，-）C （0，-4）， 易求直线CD的解析式为y=-x-4易求E（-3，0），    S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12；	图1
（3）存在， ∵MN∥x轴， ∴△CMN∽△CAB， ∴ （a）当MP=MN或NP=MN时， 设MN=a， 如图2 即， ∴a=2， ① 当∠PMN=90°时， ∵MP∥OC， ∴△AMP∽△ACO ∴， 即， ∴OP=0.5， ∴P1的坐标为（-0.5，0）， ② 当∠PNM=90°时， ∵NP∥OC， ∴△BNP∽△BCO， ∴， 即， ∴OP=1.5， ∴P2的坐标为（1.5，0） （b）当∠MPN=90°，PM=PN时， 如图3， 过点P作PQ⊥MN，垂足为Q， 则PQ=QM=QN， 设PQ=d，则QM=QN=d，MN=2d 则=（已证）即  d=， 过点N作NG⊥x轴，垂足为G， 则PQ=GN=QN=PG= ∴NG∥OC， ∴△BNG∽△BCO ∴， 即， ∴BG=1， ∴OP=OB-BG-PG=3-1-， ∴P3的坐标为（，0）， 综上（a）、（b），存在满足条件的点P有3个，坐标分别是 P1（-0.5，0）、P2（1.5，0）、P3（，0）。	图3 图3