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18.如图,正方形ABCD和正方形CEFG有公共顶点C,点C的坐标是C(6,4),点B,E,F在x轴上,点A在y轴上,反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过CE的中点Q.
(1)求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的关系式;
(2)求点A,B的坐标;
(3)P点在反比例函数的图象上,K是x轴上的点,是否存在这样的点K,使以A,B,P,K为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点K的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)先根据点C(6,4)得出点E的坐标,由中点坐标公式求出O点坐标,代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$的关系式即可得出k的值即可得出结论;
(2)先证△AOB≌△CEB,故可得出OB及OA的长,由此可得出结论;
(3)根据AK为平行四边形的对角线与AP为平行四边形的对角线两种情况进行讨论.

解答 解:(1)∵C(6,4),
∴E(6,0),
∵点Q是CE的中点,
∴Q(6,2),
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$;

(2)∵正方形ABCD和正方形CEFG有公共顶点C,
∴AB=BC,∠ABC=∠CEB=90°.
∵∠OAB+∠ABO=90°,∠ABO+∠CBE=90°,
∴∠OAB=∠CBE.
在△AOB与△CEB中,
∵$\left\{\begin{array}{l}∠OAB=∠CBE\\∠AOB=∠BEC\\ AB=BC\end{array}\right.$,
∴△AOB≌△CEB(AAS),
∴OB=CE=4,BE=OA=2,
∴A(0,2),B(4,0);

(3)如图所示,设P(a,$\frac{12}{a}$),K(x,0),
∵A(0,2),B(4,0),
∴当AK为平行四边形的对角线时,
$\frac{x}{2}$=$\frac{a+4}{2}$,$\frac{2}{2}$=$\frac{\frac{12}{a}}{2}$,解得x=6,x=10,
∴K1(10,0);
当AP为平行四边形的对角线时,
$\frac{a}{2}$=$\frac{x+4}{2}$,$\frac{2+\frac{12}{a}}{2}$=0,解得x=-10,
∴K2(-10,0).
综上所示,k的坐标为k1(10,0),K2(-10,0).

点评 本题考查的是反比例函数综合题,涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识,在解答此题时要注意画出图形,利用数形结合求解.

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