Question

已知抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C，M为抛物线的顶点，连接MB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设Q点的坐标为（8，0），将该抛物线绕点Q旋转180°后，点M的对应点为M′，求∠MBM′的度数．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0）
∴，
解得：，
∴y=-x²+2x+3；
∴y=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）．

（2）设点P的坐标为（0，y），
①若∠MPB=90°，如图1，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
∴∠MFP=∠BOP=90°．
∵∠MPB=90°，
∴∠MPF=∠PBO，
∴Rt△PFM∽Rt△BOP，
∴．
∴，
解得：y₁=1，y₂=3
∴点P的坐标为（0，1），（0，3）；
②若∠PMB=90°，如图2，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
同理，Rt△PFM∽Rt△BEM，
∴，
解得：y=
∴点P的坐标为 （0，）
③若∠MBP=90，如图3，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
同理，Rt△POB∽Rt△BEM，
∴，
解得：y=-，
∴点P的坐标为 （0，-）．
综上：△PBM是直角三角形时，P点的坐标为（0，1），（0，3），（0，），（0，-）．

（3）由题意可知：B（3，0），M（1，4），Q（8，0），点M，M′关于点Q中心对称，
∴M′（15，-4），
连结M′B，并延长M′B交y轴于点D，
由y_M′D=-+1，
∴D（0，1）．
连结MD，
∵在Rt△DFM和Rt△DOB中

∴Rt△DFM≌Rt△DOB（SAS），
∴MD=BD．
∴△DBM是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45°，
∴∠MBM′=135°．
分析：（1）直接运用待定系数法求出a、b的值就可以求出结论；
（2）设点P的坐标为（0，y），分三种情况进行讨论，若∠MPB=90°，如图1，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，通过证明Rt△PFM∽Rt△BOP，由相似三角形的性质就可以求出结论，∠PMB=90°，如图2，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，若∠MBP=90，如图3，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，类似的方法证明三角形相似就可以求出点P的坐标；
（3）由旋转可以求出M′的坐标，连结M′B，并延长M′B交y轴于点D，求出M′D的解析式，求出D的坐标，通过得出Rt△DFM≌Rt△DOB就可以而出MD=BD．进而△DBM是等腰直角三角形，从而可以得出结论．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答本题时运用函数的性质解答是关键．