Question

已知直线BC：y=-2x-4与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点的坐标为（-4，-1），连接AC、AB
（1）判断△ABC的形状；
（2）如果将△ABC沿着AB旋转一周，求所得的旋转体的体积．

Answer 1

解：（1）∵直线BC：y=-2x-4与x轴交于B点，与y轴交于C点，
∴B（-2，0），C（0，-4），
∵A点的坐标为（-4，-1），
∴AB²=[-4-（-2）]²+（-1-0）²=5，AC²=（-4-0）²+[（-1-（-4）]²=25，BC²=2²+4²=20，
∴AB=，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°；

（2）∵△ABC沿着AB旋转一周，可得圆锥，且圆锥的底面是以BC为半径的圆，圆锥的高是AB，
∴所得的旋转体的体积为：×π×BC²×AB=×π×20×=π．
分析：（1）由直线BC：y=-2x-4与x轴交于B点，与y轴交于C点，可求得点B与C的坐标，又由A点的坐标为（-4，-1），利用两点式，即可求得AB，AC，BC的长，然后由勾股定理的逆定理，即可判定△ABC的形状；
（2）由△ABC沿着AB旋转一周，可得圆锥，且圆锥的底面是以BC为半径的圆，圆锥的高是AB，然后利用圆锥的体积公式求解即可求得答案．
点评：此题考查了一次函数的性质、勾股定理的逆定理以及圆锥的体积公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．