Question

已知：关于x的方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）抛物线C：y=-x²-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A、B两点．若m≤-1且直线l₁：经过点A，求抛物线C的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l₁：绕着点A旋转得到直线l₂：y=kx+b，设直线l₂与y轴交于点D，与抛物线C交于点M（M不与点A重合），当时，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）△=（m-4）²-4[-3（m-1）]=（m+2）²，
∵方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴m≠-2；

（2）抛物线y=-x²-（m-4）x+3（m-1）中，令y=0，
则x²+（m-4）x-3（m-1）=0，
解得：x₁=3，x₂=1-m．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）和（1-m，0），
∵直线l₁：y=-x-1经过点A，
当点A坐标为（3，0）时-×3-1=0，
解得m=-，
当点A坐标为（1-m，0）时，-×（1-m）-1=0，
解得m=2或m=-1，
又∵m≤-1，
∴m=-1且A（2，0），
∴抛物线C的解析式为y=-x²+5x-6；

（3）设M（x_M，-x_M²+5x_M-6），
①当点M在A点的右侧时，可证=，
若=，则=，
此时x_M=5，M（5，-6），
过点A的直线l₂：y=kx+b的解析式为y=kx-2k，M（5，-6）时，5k-2k=-6，
求得k=-2；
②当点M与A点重合时直线l₂与抛物线C只有一个公共点，
解得，
则x²+（k-5）x+6-2k=0，
令△=（k-5）²-4（6-2k）=0，求得k=1；
③当点M在A点的左侧时，
可证=，
若=，则=，此时x_M=-1，则M的坐标是：（-1，-12），
则-k-2k=-12，解得k=4．
综上所述，当时-2≤k≤4且k≠1．
分析：（1）方程有两个不等的实数根，则判别式△＞0，据此即可得到关于m的不等式求得m的范围；
（2）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，y=-x-1经过点A点，则A可能是两个交点中的任意一个，分两种情况进行讨论，把点的坐标代入直线的解析式，即可求得m的值；
（3）设出M点的坐标，当点M在A点的右侧时，可得=，据此即可求得M的横坐标，则M的坐标可以得到，代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k值；
当点M与A点重合时直线l₂与抛物线C只有一个公共点，则两个函数解析式组成的方程组，只有一个解，利用根的判别式即可求解；
当点M在A点的左侧时，可证=，可以求得M的横坐标，则M的坐标可以得到，代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k值．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、相似三角形的判定与性质等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．