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如图，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且△AEF为正三角形，四边形A′B′C′D′为△AEF的内接正方形，△A′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形．
（1）试猜想 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小关系，并证明你的结论；
（2）求 $数学公式$ 的值．

解：（1）相等．
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF=60°，
∴∠BAE=15°，
∴AE= $\text{[math]}$ ，
同理，A′E′= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
设正方形ABCD的边长是a，等边三角形AEF边长为x，
∵CE²+CF²=x²，∴CE= $\text{[math]}$ x，
∴BE=a- $\text{[math]}$ x，
∵x²=（a- $\text{[math]}$ x ）²+a²，
∴x²+2 $\text{[math]}$ ax-4a²=0，
舍去负根，得x=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）a，
∴AE=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）AB，
设正方形A′B′C′D′的边长是y，由于△A′B′E≌△D′C′F，
∴B′E=C′F= $\text{[math]}$ （x-y），
在△A′B′E中，∠A′B′E=90°，∠B′A′E=30°，
∴B′E：A′B′= $\text{[math]}$ （x-y）：y=tan30°= $\text{[math]}$ ：3，
∴y=（2 $\text{[math]}$ -3）x，
∴A′B′=（2 $\text{[math]}$ -3）AE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$ -5 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（9 $\text{[math]}$ -5 $\text{[math]}$ ）²=312-180 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以只需比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．
（2）由于正△AEF既是正方形ABCD的内接正三角形，同时四边形A′B′C′D′又为△AEF的内接正方形，所以将AE作为中间量，求出A′B′：AB的值．
点评：本题主要考查了正方形与等边三角形的性质的运用．

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（1）如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是

正方

形，正方形ABCD的面积记为S₁，EFGH的面积为S₂，则S₁和S₂间的数量关系：

S₁=2S₂

；
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矩

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S₁=2S₂

；
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矩

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S₁=2S₂

；
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(1) 求点B的坐标；
（2）求当直线AE与⊙P相切时t的值;
(3) 在整个运动过程中直线AE与⊙P相交的时间共有几秒？（直接写出答案）