Question

（2001•乌鲁木齐）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．求证：AC与EF互相平分．（请用两种方法证明）

Answer 1

【答案】分析：方法一：根据平行四边形的对角线互相平分，得到OA=OC，只需证明OE=OF．根据AAS证明△AOE≌△COF即可得到；
方法二：要证明AC与EF互相平分，连接AF，CE．只需证明四边形AECF是平行四边形即可．根据AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF．根据△ABE≌△CDF，得到AE=CF．再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明．
解答：证明：方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
∵∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°
∴△AEO≌△CFO
∴OE=OF，即AC与EF互相平分．

方法二：连接AF，CE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF．
又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC与EF互相平分．
点评：本题综合运用平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，运用平行四边形的性质解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．