Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1）当x的值为__________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为__________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，分别过A、D作AM⊥BC于M， DN⊥CB于N， ∴AM=DN，AD=MN=5，而CD=4，∠C=45°， ∴DN=CN=CD·sin∠C=4×=4=AM， ∴BM=CB﹣CN﹣MN=3， 若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形， 则∠APC=90°或∠DPB=90°． ①当∠APC=90°时，P与M重合， ∴BP=BM=3； ②当∠DPB=90°时，P与N重合， ∴BP=BN=8； 故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形， 那么AD=PE，有两种情况： ①当P在E的左边时， ∵E是BC的中点， ∴BE=6， ∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1； ②当P在E的右边时，BP=BE+PE=6+5=11； 故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （3）由（2）知， ①当BP'=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴EP=AD=5， 如图2，过D作DN⊥BC于N， ∵CD=4，∠C=45°，则DN=CN=4， ∴NP'=BP'﹣BN=BP'﹣（BC﹣CN）=11﹣12+4=3． ∴DP'===5， ∴EP'=DP'， 故此时□P'DAE是菱形． 即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形； ②当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6﹣4=2， ∴DE===2≠AD， 故不能构成菱形．

图1 图2