Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，-3），
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为9，若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由；
（3）在（2）的情况下，P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于Q点，求线段PQ长度的最大值．

Answer 1

解：（1）由A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点的坐标，
代入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在，
如图1，设D（a，a²-2a-3），过点D 作DE⊥x轴于E
则S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，
=×3×1+a（-a²+2a+3+3）+（-a²+2a+3）（3-a），
=，
由S_{四边形ACDB}=9得，
=9，
解得a₁=2，a₂=1，
当a=2，a²-2a-3=-3，
当a=1，a²-2a-3=-4，
则D（2，-3）或D（1，-4）；

（3）由于点D存在两种情形，则也有两种情形
①如图2，当D（2，-3）时，A（-1，0），
代入y=ax+b得：，
解得：，
故直线AD的解析式为：y=-x-1，
可设P（m，-m-1）；则Q（m，m²-2m-3），
则PQ=-（m²-2m-3）-m-1=-m²+m+2=-（m-） ²+，
此时PQ的最大值为，
②如图3，当D（1，-4）时，可求得直线AD的解析式为：y=-2x-2，
可设P（m，-2m-2）；则Q（m，m²-2m-3），
则PQ=-（m²-2m-3）-2m-2=-m²+1，
此时PQ的最大值为1．
分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）设D（a，a²-2a-3），过点D，作DE⊥x轴于E，利用S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，求出a的值即可，进而求出D点坐标即可；
（3）根据（2）中D点坐标，进而表示出PQ的长度，利用二次函数的最值求出即可．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及图形面积和二次函数的最值问题，利用四边形面积得出a的值是解题关键．