Question

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证．
（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，运用三角函数求解．

解答：（1）证明：连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．                （1分）
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．              （2分）
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．         （3分）
∴OB⊥PB．
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线．                            （4分）

（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=

1

2

∠APB=30°．           （5分）
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，（6分）
∴PA=

OP2-OA2

=

42-22

=2

3

．        （7分）
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2

3

．                             （8分）
（此题解法多样，请评卷老师按解题步骤给分）

点评：此题考查了切线的判定、切线长定理、三角函数等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．