Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．设AC中点为E，A′B′中点为P，AC=2，连接EP，当θ=________°时，EP长度最大，最大值为________．

Answer 1

120    3
分析：连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，根据图形求出此时的旋转角及EP的长．
解答：解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，
此时θ=∠ACA′=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=A′B′=2，
∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°
∴CP=A′B′=2，EC=×2=1，
∴EP=EC+CP=1+2=3．
故答案为：120；3．
点评：此题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题．