Question

如图，暑假期间，小明在A处放羊，其家住在B处，A，B两地到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD，A到河岸CD的中点的距离为300米．
（1）请在图中作出小明从A处把羊赶到河边饮水后回家，所走的最短路程；
（2）他所走的最短路程是______米．

Answer 1

解：（1）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M．
则点M为饮水处，线段A′B的长度即为小明从A处把羊赶到河边饮水后回家，所走的最短路程；

（2）连接AM．
∵点A关于CD的对称点是A′，点M在CD上，
∴A′C=AC，A′M=AM．
∵AC=DB，
∴A′C=BD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°．
在△CA′M和△DBM中，
，
∴△CA′M≌△DBM（AAS），
∴A′M=BM，CM=DM，
∴M为CD中点，
∴BM=AM=300米，
∴A′B=A′M+BM=AM+BM=600米．
故答案为600．
分析：（1）如图，作点A关于河岸CD的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则小明从A处把羊赶到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长；
（2）先根据轴对称的性质得出CA′=AC，A′M=AM，再利用AAS证明△CA′M≌△DBM，然后根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为300米，即可求出A′B的值．
点评：此题考查了轴对称-最短路线问题，解答时要注意应用全等三角形的性质，根据轴对称的性质及“两点之间线段最短”作出饮水处M点的位置是解题的关键．