Question

如图，AB是⊙O的直径，C是

BD

的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，交AC于点H．
（1）求证：CF=BF；
（2）求证：CB²=CH•CA；
（3）若AH=5，当BH：AB=2：3时，CH=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接BC，根据圆周角定理求出∠CAB=∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠CAB=∠BCE，推出∠CBF=∠BCF，即可得出答案；
（2）证△CBH∽△CAB即可；
（3）根据相似得出比例式，根据已知代入，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BDE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠BDE=∠CAB，
∵弧CD=弧BC，
∴∠CBF=∠CAB，
∴∠BCE=∠CBF，
∴CF=BF；

（2）证明：∵∠CBF=∠CAB，∠BCH=∠BCA，
∴△CBH∽△CAB，
∴

BC

CH

=

CA

BC

，
∴CB²=CH•CA；

（3）解：∵△CBH∽△CAB，BH：AB=2：3，AH=5，
∴

BH

AB

=

BC

AC

=

CH

BC

=

2

3

，
∴设CH=2x，BC=3x，
∴

3x

5+2x

=

2

3

，
x=2，
即CH=4，
故答案为：4．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：在同圆中，等弧所对的圆周角相等，题目比较好，但是有一定的难度．