Question

已知抛物线y=x²+bx+c过点（-2，4），与y轴的交点为B（0，1）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点A的坐标．
（2）在抛物线上是否存在一点C．是∠BAC=90°？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标．
（3）P、Q为抛物线上的两点，且横坐标分别为4和6，在x轴、y轴上分别有两个动点M、N．当PM+MN+NQ最小时，求出M、N两点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线过（-2，4）和（0，1）两点．
∴解得
∴抛物线的解析式为：y=x²-x+1
y=（x-2）²
∴顶点A的坐标为：（2，0）；

（2）假设存在C使∠BAC=90°，设C（t，-t+1），
如图1，过C点作CD⊥x轴于D，则D（t，0），
∴CD=-t+1，AD=t-2，
∵∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
∴△BAO∽△ACD，
∴，即，
解得t=2或t=10，
∴C（10，16）；

（3）∵点P点Q在抛物线上，且横坐标分别为4和6，
∴P（4，1），Q（6，4），
∴点P关于x轴的对称点P′的坐标为（4，-1），
点Q关于y轴的对称点Q′的坐标为（-6，4），
∵PM=P′M，QN=Q′N，
∴当P′、M、N、Q′四点共线时，PM+MN+NQ的值最小，
∵P′Q′的解析式为y=-x+1，
∴此时M（2，0），N（0，1）．
分析：（1）将已知两点的坐标代入解析式求出系数b、c的值就可以求出其解析式，然后转化为顶点式就可以求出点A的坐标．
（2）假设存在点C，设出点C的坐标，利用三角形相似求出相应的线段的长度，就可以求出点C的坐标．
（3）这是一个轴对称问题，根据P、Q的横坐标可以求出P、Q的坐标，分别作P、Q关于x轴、y轴的对称点P′、Q′，求出P′Q′的解析式，求出该解析式与x轴和y轴的交点坐标就是M点和N点的坐标．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法就函数的解析式，满足条件的点的坐标，利用轴对称的性质求最小值，相似三角形的判定及性质．