Question

已知AB是半径为6的⊙O的直径，点C是⊙O的半径OA上的动点，PC⊥AB交⊙O于E，交OA于C，PC=10，PT是⊙O的切线（切点T在上）．

（1）如图①当点C与点O重合时，求PT的长；
（2）如图②当点C与点A重合时，求AT的长；
（3）如图③设AC=x，PT=y，试求y关于x的函数关系式，并写出x、y的取值范围．

Answer 1

解：（1）连接OT，则OT⊥PT，
在直角三角形OPT中，PT==8，

（2）连接PO，OT，
∵PA⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线，
又PT是⊙O的切线，
∴PA=PT，∠PAO=∠PTO=90°，
又OA=OT，
∴Rt△PAO≌Rt△PTO；
∵PA，PT都是⊙O的切线，
∴PO是∠ART的平分线，
∴PO⊥AT，设PO与AT交于Q，则AT=2AQ；
在Rt△PAO中，PA=10，AO=6，
∴PO=2；
∵S_△PAO=AP•AO=PO•AQ，
∴AQ=，
∴AT=．

（3）连接PO，OT则OC=6-x，
∴PO²=10²+（6-x）²，
PT²=PO²-OT²=10²+（6-x）²-6²=x²-12x+100，
∴y=，
0≤x≤6，8≤y≤10．

分析：（1）连接OT，根据勾股定理即可求出．
（2）可通过构建直角三角形来求解，连接OP，OT，那么OT⊥PT，由于PT、PA都是圆O的切线，根据切线长定理，PA=PT，OP是∠APT的平分线，那么OP垂直平分AT、AT=2AQ，那么求AT的关键就是求AQ的长，直角三角形PAO中，有PA、OA的长，可求出OP的长，然后根据面积法来求出AQ的长．
（3）可构建直角三角形来求解，连接PO，OT，那么PO是直角三角形PCO和PTO的公共边，那么利用好着条公共边是解题的关键．
直角三角形POC中，OC可以用x表示出来，PC=10，那么可用x表示出PO²，直角三角形PTO中，PT=y，有半径的长，因此可用y表示出PO²，那么整合这两个关于PO²的式子即可得出关于x、y的函数式．
点评：本题主要考查了切线的性质．连接圆心和切点，运用好直角三角形求解是本题解题的关键．