Question

23、已知a+b=1，ab=-1，设S₁=a+b，S₂=a²+b²，S₃=a³+b³，…，S_n=aⁿ+bⁿ．
（1）计算S₂、S₃、S₄的值；
（2）写出S_n-2、S_n-1、S_n三者之间的关系式；
（3）根据以上得出的结论，计算a⁷+b⁷的值．

Answer 1

分析：（1）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）根据（2）的结论，即可推出a⁷+b⁷=S₇=S₅+S₆=3S₄+2S₃．

解答：解：（1）∵S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=3；
∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），
∴3×1=a³+b³-1，
∴a³+b³=4，即S₃=4，
∵S₄=（a²+b²）²-2（ab）²=7，
∴S₄=7；

（2）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₂+S₃=S₄，
∴S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）∵S_n-2+S_n-1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₅=4+7=11，
∴S₆=7+11=18，
∴S₇=11+18=29．

点评：本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S₂=3，S₃=4，S₄=7，分析归纳出规律：S_n-2+S_n-1=S_n．