Question

如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm。
（1）当t为何值时，△ABC的一边与半圆O相切？
（2）当△ABC的一边与半圆O相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

Answer 1

解：（1）分三种情况：
（a）当E与C重合时，OC-OE=8-6=2
t=2÷2=1（s）；
（b）半圆O与AB边相切于M时，如图（b）连OM，则∠OMB=90°又∠ABC=30°，OM=6
∴OB=2OM=12，故此时O与C重合即点O运动了8cm，
∴t=8 ÷2=4（s）；
（c）当点D与C重合时，如图（c），半圆O与AC边相切于C，此时点D运动了14cm，
∴t=14÷2=7（s）
综上所述：当t=1s时，半圆O与AC边相切，此时E与C重合，
当t=4s时，半圆O与AB边相切，
当t=7s时，半圆O与AC边相切，此时D与C重合；
（2）当半圆O与AB边相切于M时，如图（b）
S=
当半圆O与AC边相切，此时D与C重合，如图（c）
OB=6，OM=3
∴BM=
∴BN=
∠NOB=120°
S=。