Question

18、（1）如图（1）已知，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．求证：△ODE是等边三角形；

（2）如图（2）若∠A=60°，AB≠AC，则（1）的结论是否成立如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明；
（2）此题只要求得∠BOD+∠COE=120°即可．根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行求解或构造∠DOE所对的弧所对的圆周角，只要求得圆周角是30°即可．

解答：解：（1）∵△BAC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OD=OB=OE=OC，
∴△OBD和△OEC都是等边三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∴△ODE是等边三角形．

（2）结论（1）仍成立．
证明：连接CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°．
∴∠DOE=2∠ACD=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形．

点评：解答本题的关键是能够熟练运用圆周角定理及其推论求得有关角的度数．注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．