Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

Answer 1

解：（1）由抛物线过B(0，1) 得c=1， 又b=-4ac，顶点A(-，0)， ∴-==2c=2，∴A(2，0)， 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0， ∴， 解得：a=，b=-1， 所以，抛物线的解析式为y=x2-x+1。
（2）假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y)， 　　　　　　　　　　　　 作CD⊥x轴于D ，连接AB、AC， ∵A在以BC为直径的圆上， ∴∠BAC=90°， ∴△AOB∽△CDA， ∴OB·CD=OA·AD， 即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4， 由， 解得：x1=10，x2=2， ∴符合题意的点C存在，且坐标为(10，16)或(2，0)， ∵P为圆心，∴P为BC的中点， 当点C坐标为 (10，16)时，取OD中点P1，连结PP1，　 则PP1为梯形OBCD中位线， ∴PP1=(OB+CD)=， ∵D (10，0)，∴P1 (5，0)，∴P (5，)； 当点C坐标为 (2，0)时， 取OA中点P2，连结PP2， 则PP2为△OAB的中位线， ∴PP2=OB=， ∵A(2，0)，∴P2(1，0)，∴P(1，)， 故点P的坐标为(5，)或(1，)。
（3）设B、P、C三点的坐标为B(x1，y1)，P(x2，y2)，C(x3，y3)， 由（2）可知：。