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    变与不变将一长方形纸片折出如图所示的图形，其中∠AEB=30°，BG：GH：HC=2：4：1，如果DH=3cm，求AE+EF的长．

    解：由题设知GH=2DH=2×3=6所以BG=GH=3，HC=GH=
    HI=2HC=3，IC2=HI2-HC2=9-=，IC=
    所以原长方形纸片的一条边DH+HI+IC=3+3+=6+
    又BF=3×=
    由AE+EF+FB=DH+HI+IC=6+
    得AE+EF=6+-BF=6+-=6+
    分析：翻折后的图形与原来的图形大小和形状一样，根据∠AEB=30°，可找到特殊的直角三角形，又因为BG：GH：HC=2：4：1，如果DH=3cm，可求出BG，GH，HC的长，继而求出HI，IC的长，从而求解．
    点评：本题考查翻折问题，翻折后图形的大小和形状与原来一样，利用给的特殊角等可求解．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    操作探究：
    数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：

    探究：
    （1）若∠1=70°，∠MKN=
    40
    40
    °；
    （2）改变折痕MN位置，△MNK始终是
    等腰
    等腰
     三角形，请说明理由；
    应用：
    （3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为
    12
    ，此时∠1的大小可以为
    45°或135
    45°或135
    °
    （4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．

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