Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N，设AP=x。

（1）在△ABC中，AB=____；
（2）当x=____时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

Answer 1

解：（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴；
（2）5；
（3））∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=90°，
∴AC∥PN，
∴∠A=∠NPB，
∴△AMP∽△PNB∽△ABC，
∴由AP=x，
∴，，PB=10-x，，，
若存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等，
则有，
即2MP=BN，2NP=AM，
且，
即3x=10，此时，
∴存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的的值。