Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB，过B作BE⊥AD，交AD的延长线于E，又已知AD=6cm，求BE的长．

Answer 1

解：延长BE、AC交于F点，如图，
∵BE⊥EA，
∴∠AEF=∠AEB=90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠F=∠ABE，
∴AF=AB，
∵BE⊥EA，
∴BE=EF=BF，
∵△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=45°，
∴∠AFE=（180-45）°÷2=67.5°，∠FAE=22.5°，
∴∠CDA=67.5°，
∵在△ADC和△BFC中，
，
∴△ADC≌△BFC（AAS），
∴BF=AD，
∴BE=AD=3cm．
分析：延长BE、AC交于F点，首先利用三角形内角和计算出∠F=∠ABF，进而得到AF=AB，再根据等腰三角形的性质可得BE=NF，然后证明△ADC≌△BFC，可得BF=AD，进而得到BE=AD．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是证明△ADC≌△BFC和BE=EF=BF．