Question

如图，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD，在底边AB上截AE=CD．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是梯形，
∴AB∥DC，
∴∠DCA=∠EAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形AECD是菱形；

（2）解：∵若点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵CE=AE，
∴CE=BE，
∴∠EBC=∠ECB，∠EAC=∠ECA
∴∠ECB+∠ECA=90°
∴△ABC为直角三角形．
分析：（1）根据四边形ABCD是梯形得到AB∥DC，从而得到∠DCA=∠EAC，利用EC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC，从而∠DAC=∠DCA，所以AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形AECD是菱形；
（2）利用若点E是AB的中点，得到AE=BE，根据CE=AE，得到CE=BE，从而得到△ABC为直角三角形．
点评：本题考查了梯形的性质及菱形的判定，解题的关键是熟知梯形的性质，并理解其基本辅助线的作法．