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如图，点O是等边三角形ABC的中心，A₁，B₁，C₁分别是OA，OB，OC的中点，则△A₁B_lC_l与△ABC的位似比，位似中心分别是________．

1：2，点O
分析：由点O是等边三角形ABC的中心，A₁，B₁，C₁分别是OA，OB，OC的中点，即可得位似中心是点O，又由三角形中位线的性质，可求得△A₁B_lC_l与△ABC的位似比．
解答：∵点O是等边三角形ABC的中心，A₁，B₁，C₁分别是OA，OB，OC的中点，
∴A₁B₁= $\text{[math]}$ AB，B₁C₁= $\text{[math]}$ BC，A₁C₁= $\text{[math]}$ AC，
∴△A₁B_lC_l与△ABC的位似比为：1：2，且位似中心为点O．
故答案为：1：2，点O．
点评：此题考查了位似图形的性质与三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

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．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。

（1）求点B的坐标；

（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；

（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

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