Question

在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=a，DC=b，BC=a+b，且a≤b，取AD的中点P，连接PB、PC。
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD，若存在，请求出BM的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥DC．又AB=a，DC=b，且a≤b，
∴四边形ABCD为直角梯形（或矩形），
过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，
∴PQ∥AB，
又点P是AD的中点，
∴点Q是BC的中点，
又PQ=（AB+CD）=（a+b）=BC，
∴PQ=BQ=QC，
∴△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形，
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°，PB=PC，
即△PBC是等腰直角三角形；
（2）存在点M，使AM⊥MD，
以AD为直径，P为圆心作圆P，
当a=b时，四边形ABCD为矩形，PA=PD=PQ，
圆P与BC相切于点Q，此时，M点与Q点重合，
即存在点M，使得AM⊥MD，
此时BM=（a+b）；
当a＜b时，四边形ABCD为直角梯形，
AD＞BC，PA=PD＞PQ，圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径，圆P与BC相交，BC上存在两点M₁，M₂，使AM⊥MD，
过点A作AE⊥DC，在Rt△AED中，AE=a+b，DE=b-a，

连接PM₁，PM₂，则，
在直角三角形PQM₁中，，
∴BM₁=BQ-M₁Q=a，
同理可得：BM₂=BQ+M₂Q=b，
综上所述，在线段BC上存在点M，使AM⊥MD，
当a=b时，有一点M，BM=；
当a＜b时，有两点M₁，M₂，BM₁=a，BM₂=b。