Question

△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF．
（1）连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．是否存在三个三角形，使得它们彼此都相似，若有写出来；
（2）求证：DG平分∠BGC．

Answer 1

（1）连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．
则有：Rt△BFN∽Rt△BDN∽Rt△DEG，或Rt△CEK∽Rt△CDK∽Rt△DFG．

（2）证明：
Rt△BFN∽Rt△DEG，
Rt△CEK∽Rt△DFG，
∴BF•GE=DF•DE=CE•FG
∴，而∠BFG=∠CEG
∴△BFG∽△CEG，
于是∠BGF=∠CGE．
∵DG⊥EF，∴∠BGD=∠CGD．
即DG平分∠BGC．
分析：（1）连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．根据切线长定理，垂径定理即可得到相似的三角形；
（2）首先证明：△BFG∽△CEG，得到∠BGF=∠CGE，再根据DG⊥EF，即可求证．
点评：本题主要考查了三角形的内切圆的性质，综合运用了切线长定理，三角形的相似的判定与性质．