Question

已知：如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A的圆分别交AB，AC于点P和Q，交BC于点D和E，若BP+CQ=PQ，求∠DAE的度数．

Answer 1

解：∵∠CAB=90°
∴PQ是直径，则PQ的中点O是过点A的圆的圆心．连OE，PE，作PF⊥AB交BC于点F
∵AB=AC
∴∠B=45°
∵PF⊥AB
∴PF=PB，PF∥CQ
∵BP+CQ=PQ
∴FP+CQ=PQ=2OE
∴OE=（FP+CQ）
若取梯形CQPF的边CF中点M，连OM，则OM∥CQ∥PF，
OM=（FP+CQ）
∴OE=OM
∴点M，E重合．
∴OE∥CQ
又∵CQ⊥AB
∴OE⊥AB
∴EA=EP
∴∠EAP=∠EPA
∵∠EAP=∠EAD+∠DAB，∠EPA=∠B+∠PEB
∴∠EAD+∠DAB=∠B+∠PEB
∵∠DAB=∠PEB
∴∠EAD=∠B=45°．
分析：先得到PQ是直径，设圆心为O，连OE，PE，作PF⊥AB交BC于点F，然后根据BP+CQ=PQ，证明OE∥AC，得到OE⊥AP，得到EA=EP，再由∠EAP=∠EAD+∠DAB，∠EPA=∠B+∠PEB，最后得到∠EAD=∠B=45°．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了90度的圆周角所对的弦为直径、垂径定理、梯形的中位线和等腰三角形的性质．