Question

19．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．[注y=ax²+bx+c的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）]
（1）试确定b、c的值；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．

Answer 1

分析 （1）把（-1，0）、（3，0）代入y=x²+bx+c中，得到关于b、c的二元一次方程组，解即可；
（2）由于CD∥x轴，而且抛物线关于对称轴对称，于是易知l也是CD的垂直平分线，进而可得MC=MD，从而可证．

解答 解：（1）把（-1，0）、（3，0）代入y=x²+bx+c中，得
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故b=-2，c=-3；

（2）∵CD∥x轴，抛物线关于对称轴l对称，
∴l⊥x轴，
∴l是CD的垂直平分线，
∴MC=MD，
∵抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴点M的坐标为：（1，-4），点C的坐标为：（0，-3），
∴点D的坐标为：（2，-3），
∴CD=2，CM=DM=$\sqrt{2}$，
∴CM²+DM²=CD²，
∴△MCD是等腰直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是注意二次函数具有对称性．