Question

如图1，直线y=x+（2+）分别交x轴，y轴于点A，C，点B为线段AC中点，连接OB，将△BOC折叠，使点B落在边OC上点F处，折痕为DE，EF∥x轴．

（1）求点E和点F的坐标；
（2）若经过点E，F的抛物线与x轴交于点G，H，且点G坐标为（，0），求该抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上（x轴下方）一点（图2），PF交x轴于N，问是否存在使S_△GFN≥S_△GFP的点P？若存在，请求出点P横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当y=0时，x+（2+）=0，
解得x=-2-3，
当x=0时，y=2+，
∴点A、C的坐标为A（-2-3，0），C（0，2+），
∴OA=2+3，OC=2+，
∵tan∠ACO===，
∴∠ACO=60°，
∴AC=2OC=2（2+），
∵点B为线段AC中点，
∴OB=BC=AC=2+，
∴△BOC是等边三角形，∠EOF=60°，
设OF=x，∵EF∥x轴，
∴EF=OF•tan60°=x，
OE=2OF=2x，
∵△BDE沿DE折叠得到△FDE，
∴BE=EF=x，
∴OB=2x+x=2+，
解得x=1，
∴x=，2x=2，
所以，点E、F的坐标分别为E（-，1），F（0，1）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则，
解得，
所以，抛物线解析式为y=-x²-x+1；

（3）存在．理由如下：
如图，令y=0，则-x²-x+1=0，
解得x₁=，x₂=-2，
所以，点H的坐标为（-2，0），
∵S_△GFN≥S_△GFP，△GFP=△GFN+△GNP，
∴S_△GNP≤2S_△GFN，
∵GN是△GFN与△GNP公共底边，
∴点P到GN的距离小于等于点F到GN的距离即可，
∵点F到GN的距离等于1，
∴点P到x轴的距离小于等于2，
又∵点P在x轴下方，
∴当点P的纵坐标为-2时，-x²-x+1=-2，
整理得，x²+x-18=0，
解得x₁=2，x₂=-3，
结合图形可得，当-3≤x＜-2或＜x≤2时，S_△GFN≥S_△GFP．
分析：（1）根据直线解析式求出点A、C的坐标，然后判断出∠ACO=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB=BC，从而得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的每一个角都是60°，∠EOF=60°，设OF=x，然后表示出EF、OE，再根据折叠的性质，BE=EF，然后根据OB的长度列出方程求解即可得到x的值，然后即可求出点E、F的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把点E、F、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（3）先求出抛物线与x轴的另一交点H的坐标，再根据△GFP分成△GFN与△GNP两部分，因为点F的纵坐标为1，只要是点P的纵坐标的绝对值小于2即可满足，然后求出点P的坐标为-2时的x的值，再结合图形求解即可．
点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，待定系数法求二次函数解析式，（3）把三角形的面积转化成利用点的纵坐标的关系求解是解题的关键．