Question

如图，已知直线y=x-1与y轴交于点C，将抛物线y=-（x-2）²向上平移n个单位（n＞0）后与x轴交于A，B两点。
（1）直接写出点C的坐标；
（2）当经过C，A，B三点的圆的面积最小时。
①求n的值；
②在y轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使得既与直线y=x-1相切，又与y轴相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）令x=0，y=0-1=-1， ∴点C的坐标（0，-1）； （2）①平移后二次函数的解析式为y=-（x-2）2+n 由题意知：过C，A，B三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点， ∴当圆的半径等于点C到直线x=2的距离时，圆的半径最小，从而圆的面积最小．此时，圆的半径为2，面积为4π， 设圆心为M，直线x=2与x轴交于点D，连结AM，则AM=2，DM=1， 在Rt△PMD中，AD= ∴点A的坐标是（2-，0），代入抛物线得n=， ∴当n=时，过C，A，B三点的圆的面积最小，最小面积为4π； （3）如图2，当点P在直线AC下方时，设直线y=x-1与x轴相交于点E，过点P作PN⊥EC于点N，PM∥y轴交EC于点N，则∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°， ∴△PMN∽△ECO， ∴ 令y=x-1=0.则x=，即OE=，CE=， 设点P的横坐标为m，则PM=m-1+（m-2）2-= ∴PN=， 根据题意，=m，解得m1=， m2=（不合题意，舍去） 即点P的坐标是（） 当点P在直线AC上方时，同理可得=-m， 解得m3=（不合题意，舍去）， 即点P的坐标是（）， 综上，点P的坐标是（）或（）。